Les principes géométriques anciens remontent aux civilisations de Mésopotamie, d’Égypte, de l’Inde et de la Grèce antique.

Les principes géométriques anciens remontent aux civilisations de Mésopotamie, d’Égypte, de l’Inde et de la Grèce antique. Initialement développés pour des besoins pratiques (arpentage des terres, construction de pyramides et astronomie), ils ont ensuite été formalisés sous forme de théorèmes mathématiques.

1. La relation du triangle rectangle (Principe de Pythagore)

Bien avant Pythagore (vers 500 av. J.-C.), les Babyloniens (vers 1800 av. J.-C.) et les Égyptiens connaissaient déjà la relation empirique entre les côtés d’un triangle rectangle, notamment le triplet $(3, 4, 5)$.

• Principe : Dans un triangle rectangle, l’aire du carré construit sur l’hypothénuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés : $a^2 + b^2 = c^2$.

2. La proportionnalité et la parallélisme (Théorème de Thalès)

Utilisé par les Égyptiens et formalisé par Thales de Milet au VIᵉ siècle av. J.-C., ce principe permet de calculer des longueurs inaccessibles (comme la hauteur d’une pyramide) grâce aux ombres et à la proportionnalité des triangles semblables.

• Principe : Une droite parallèle à l’un des côtés d’un triangle découpe sur les deux autres côtés des segments proportionnels.

3. Les Axiomes d’Euclide (Géométrie Euclidienne)

Vers 300 av. J.-C., Euclide d’Alexandrie réunit l’ensemble des connaissances géométriques de son époque dans les Éléments. Il y pose 5 postulats fondateurs :

1. Un segment de droite peut être tracé en reliant deux points quelconques.

2. Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite.

3. Un cercle peut être tracé avec n’importe quel centre et n’importe quel rayon.

4. Tous les angles droits sont égaux entre eux.

5. Le cinquième postulat (postulat des parallèles) : Par un point extérieur à une droite, il ne passe qu’une seule droite parallèle à cette dernière.

4. Le calcul des aires et volumes de révolution (Archimède)

Au IIIᵉ siècle av. J.-C., Archimède de Syracuse établit des règles géométriques fondamentales pour mesurer les surfaces et les volumes des figures courbes.

• Approximation de $\pi$ : En encadrant un cercle par des polygones réguliers inscrits et circonscrits (jusqu’à 96 côtés).

• Rapport sphère/cylindre : Il démontre que le volume d’une sphère est égal aux deux tiers du volume du cylindre qui la contient ($V = \frac{4}{3}\pi r^3$).

Synthèse des grandes étapes

Le théorème de Pythagore affirme que dans un triangle rectangle dont les côtés mesurent $a$ et $b$, et dont l’hypoténuse mesure $c$ :

Voici une démonstration classique et très élégante qui combine une approche visuelle et son explication algébrique.

1. La construction visuelle

Imaginez un grand carré dont le côté a une longueur de $(a + b)$.

À l’intérieur de ce carré, nous plaçons 4 triangles rectangles identiques (de côtés $a$, $b$ et d’hypoténuse $c$) disposés aux 4 coins :

       a         b
  +---------+---------+
  |    /|   |   |\    |
  |   / |   |   | \   |
a |  /  |   c   |  \  |
  | /   |       |   \ |
  |/____|_______|____\|
  |     |       |     |
  |     |   c   |     |
b |     |       |     |
  |     |       |     |
  +---------+---------+

• Le grand carré extérieur a un côté égal à $(a + b)$.

• La figure formée au centre par les hypoténuses des 4 triangles est un carré plus petit, de côté $c$.

2. La démonstration algébrique

Nous allons calculer l’aire du grand carré de deux manières différentes :

Méthode A : L’aire du grand carré d’un seul bloc

L’aire d’un carré est égale au côté multiplié par lui-même :

Méthode B : La somme des aires des éléments intérieurs

Le grand carré est composé de :

1. 4 triangles rectangles identiques : $\text{Aire d’un triangle} = \frac{a \times b}{2}$

2. 1 carré central de côté $c$ : $\text{Aire du carré central} = c^2$

L’aire totale vaut donc :

3. La conclusion

Puisque les deux méthodes mesurent la même surface totale, on égalise les deux expressions :

En soustrayant $2ab$ de chaque côté de l’équation :

Le théorème est démontré !

Exemple numérique rapide

Si un triangle rectangle a pour côtés $a = 3$ cm et $b = 4$ cm :

• $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

• $c^2 = 25 \implies c = \sqrt{25} = 5\text{ cm}$

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