- \n
- \n
Principe :<\/b> Dans un triangle rectangle, l’aire du carr\u00e9 construit sur l’hypoth\u00e9nuse est \u00e9gale \u00e0 la somme des aires des carr\u00e9s construits sur les deux autres c\u00f4t\u00e9s : $a^2 + b^2 = c^2$<\/span>.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n
2. La proportionnalit\u00e9 et la parall\u00e9lisme (Th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s)<\/h3>\n
Utilis\u00e9 par les \u00c9gyptiens et formalis\u00e9 par Thales de Milet au VI\u1d49 si\u00e8cle av. J.-C., ce principe permet de calculer des longueurs inaccessibles (comme la hauteur d’une pyramide) gr\u00e2ce aux ombres et \u00e0 la proportionnalit\u00e9 des triangles semblables.<\/p>\n
\n![\"\"](\"https:\/\/www.laurensoff.com\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2026\/09\/image-1024x576-2.jpg\")
Thales’s theorem on the chalkboard<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n - \n
- \n
Principe :<\/b> Une droite parall\u00e8le \u00e0 l’un des c\u00f4t\u00e9s d’un triangle d\u00e9coupe sur les deux autres c\u00f4t\u00e9s des segments proportionnels.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n
3. Les Axiomes d’Euclide (G\u00e9om\u00e9trie Euclidienne)<\/h3>\n
Vers 300 av. J.-C., Euclide d’Alexandrie r\u00e9unit l’ensemble des connaissances g\u00e9om\u00e9triques de son \u00e9poque dans les \u00c9l\u00e9ments<\/i>. Il y pose 5 postulats fondateurs :<\/p>\n
- \n
- \n
Un segment de droite peut \u00eatre trac\u00e9 en reliant deux points quelconques.<\/p>\n<\/li>\n
- \n
Un segment de droite peut \u00eatre prolong\u00e9 ind\u00e9finiment en une ligne droite.<\/p>\n<\/li>\n
- \n
Un cercle peut \u00eatre trac\u00e9 avec n’importe quel centre et n’importe quel rayon.<\/p>\n<\/li>\n
- \n
Tous les angles droits sont \u00e9gaux entre eux.<\/p>\n<\/li>\n
- \n
Le cinqui\u00e8me postulat (postulat des parall\u00e8les) :<\/b> Par un point ext\u00e9rieur \u00e0 une droite, il ne passe qu’une seule droite parall\u00e8le \u00e0 cette derni\u00e8re.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n
4. Le calcul des aires et volumes de r\u00e9volution (Archim\u00e8de)<\/h3>\n
Au III\u1d49 si\u00e8cle av. J.-C., Archim\u00e8de de Syracuse \u00e9tablit des r\u00e8gles g\u00e9om\u00e9triques fondamentales pour mesurer les surfaces et les volumes des figures courbes.<\/p>\n
- \n
- \n
Approximation de $\\pi$<\/span> :<\/b> En encadrant un cercle par des polygones r\u00e9guliers inscrits et circonscrits (jusqu’\u00e0 96 c\u00f4t\u00e9s).<\/p>\n<\/li>\n
- \n
Rapport sph\u00e8re\/cylindre :<\/b> Il d\u00e9montre que le volume d’une sph\u00e8re est \u00e9gal aux deux tiers du volume du cylindre qui la contient ($V = \\frac{4}{3}\\pi r^3$<\/span>).<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n
Synth\u00e8se des grandes \u00e9tapes<\/h3>\n
\n\n
\n \u00c9poque \/ Civilisation<\/strong><\/td>\n Avanc\u00e9e g\u00e9om\u00e9trique majeure<\/strong><\/td>\n Application pratique<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/thead>\n\n \n M\u00e9sopotamie \/ \u00c9gypte<\/b> (~2000\u20131500 av. J.-C.)<\/span><\/td>\n \u00c9galit\u00e9s d’aires, triplets pythagoriciens, calcul de pente<\/span><\/td>\n Red\u00e9coupage des champs apr\u00e8s les crues, construction des monuments<\/span><\/td>\n<\/tr>\n \n Gr\u00e8ce archa\u00efque<\/b> (VI\u1d49 si\u00e8cle av. J.-C.)<\/span><\/td>\n Raisonnement d\u00e9ductif (Thal\u00e8s, Pythagore)<\/span><\/td>\n Mesures indirectes, navigation<\/span><\/td>\n<\/tr>\n \n Gr\u00e8ce classique & hell\u00e9nistique<\/b> (IV\u1d49\u2013III\u1d49 si\u00e8cle av. J.-C.)<\/span><\/td>\n Axiomatisation (Euclide), g\u00e9om\u00e9trie des courbes (Archim\u00e8de)<\/span><\/td>\n Mod\u00e9lisation astronomique, ing\u00e9nierie m\u00e9canique<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n Le th\u00e9or\u00e8me de Pythagore<\/b> affirme que dans un triangle rectangle dont les c\u00f4t\u00e9s mesurent $a$<\/span> et $b$<\/span>, et dont l’hypot\u00e9nuse mesure $c$<\/span> :<\/p>\n
\n$$a^2 + b^2 = c^2$$<\/div>\n<\/div>\nVoici une d\u00e9monstration classique et tr\u00e8s \u00e9l\u00e9gante qui combine une approche visuelle<\/b> et son explication alg\u00e9brique<\/b>.<\/p>\n
1. La construction visuelle<\/h3>\n
Imaginez un grand carr\u00e9 dont le c\u00f4t\u00e9 a une longueur de $(a + b)$<\/span>.<\/p>\n
\u00c0 l’int\u00e9rieur de ce carr\u00e9, nous pla\u00e7ons 4 triangles rectangles identiques<\/b> (de c\u00f4t\u00e9s $a$<\/span>, $b$<\/span> et d’hypot\u00e9nuse $c$<\/span>) dispos\u00e9s aux 4 coins :<\/p>\n
\n\n\na b\r\n +---------+---------+\r\n | \/| | |\\ |\r\n | \/ | | | \\ |\r\na | \/ | c | \\ |\r\n | \/ | | \\ |\r\n |\/____|_______|____\\|\r\n | | | |\r\n | | c | |\r\nb | | | |\r\n | | | |\r\n +---------+---------+\r\n<\/code><\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n- \n
- \n
Le grand carr\u00e9 ext\u00e9rieur<\/b> a un c\u00f4t\u00e9 \u00e9gal \u00e0 $(a + b)$<\/span>.<\/p>\n<\/li>\n
- \n
La figure form\u00e9e au centre<\/b> par les hypot\u00e9nuses des 4 triangles est un carr\u00e9 plus petit, de c\u00f4t\u00e9 $c$<\/span>.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n
2. La d\u00e9monstration alg\u00e9brique<\/h3>\n
Nous allons calculer l’aire du grand carr\u00e9 de deux mani\u00e8res diff\u00e9rentes :<\/p>\n
M\u00e9thode A : L’aire du grand carr\u00e9 d’un seul bloc<\/h4>\n
L’aire d’un carr\u00e9 est \u00e9gale au c\u00f4t\u00e9 multipli\u00e9 par lui-m\u00eame :<\/p>\n
\n$$\\text{Aire} = (a + b)^2$$<\/div>\n<\/div>\n\n$$\\text{Aire} = a^2 + 2ab + b^2$$<\/div>\n<\/div>\nM\u00e9thode B : La somme des aires des \u00e9l\u00e9ments int\u00e9rieurs<\/h4>\n
Le grand carr\u00e9 est compos\u00e9 de :<\/p>\n
- \n
- \n
4 triangles rectangles<\/b> identiques : $\\text{Aire d’un triangle} = \\frac{a \\times b}{2}$<\/span><\/p>\n<\/li>\n
- \n
1 carr\u00e9 central<\/b> de c\u00f4t\u00e9 $c$<\/span> : $\\text{Aire du carr\u00e9 central} = c^2$<\/span><\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n
L’aire totale vaut donc :<\/p>\n
\n$$\\text{Aire} = 4 \\times \\left(\\frac{a \\times b}{2}\\right) + c^2$$<\/div>\n<\/div>\n\n$$\\text{Aire} = 2ab + c^2$$<\/div>\n<\/div>\n3. La conclusion<\/h3>\n
Puisque les deux m\u00e9thodes mesurent la m\u00eame surface totale, on \u00e9galise les deux expressions :<\/p>\n
\n$$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$$<\/div>\n<\/div>\nEn soustrayant $2ab$<\/span> de chaque c\u00f4t\u00e9 de l’\u00e9quation :<\/p>\n
\n$$a^2 + b^2 = c^2$$<\/div>\n<\/div>\nLe th\u00e9or\u00e8me est d\u00e9montr\u00e9 !<\/p>\n
Exemple num\u00e9rique rapide<\/h3>\n
Si un triangle rectangle a pour c\u00f4t\u00e9s $a = 3$<\/span> cm et $b = 4$<\/span> cm :<\/p>\n
- \n
- \n
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$<\/span><\/p>\n<\/li>\n
- \n
$c^2 = 25 \\implies c = \\sqrt{25} = 5\\text{ cm}$<\/span><\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Les principes g\u00e9om\u00e9triques anciens remontent aux civilisations de M\u00e9sopotamie, d’\u00c9gypte, de l’Inde et de la…<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":3212,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_feature_clip_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[6934],"tags":[5422,6941,6942,6945,6944,5409,6935,6946,6940,6943,6936,6939,6937,6938,6947],"class_list":["post-3208","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-les-principes-geometriques-anciens","tag-antiquite","tag-archimede","tag-babyloniens","tag-calcul-daires","tag-demonstration-mathematique","tag-egypte-antique","tag-geometrie-ancienne","tag-geometrie-dans-lespace","tag-geometrie-euclidienne","tag-grece-antique","tag-histoire-des-mathematiques","tag-postulats-deuclide","tag-theoreme-de-pythagore","tag-theoreme-de-thales","tag-trigonometrie"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_featured_media_url":"https:\/\/www.laurensoff.com\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2026\/09\/licensed-image-5.jpg","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.laurensoff.com\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3208","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.laurensoff.com\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.laurensoff.com\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.laurensoff.com\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.laurensoff.com\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3208"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/www.laurensoff.com\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3208\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3211,"href":"https:\/\/www.laurensoff.com\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3208\/revisions\/3211"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.laurensoff.com\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/media\/3212"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.laurensoff.com\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3208"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.laurensoff.com\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3208"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.laurensoff.com\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3208"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
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